Ре­ше­ние. Пусть в го­ро­де А пи­са­ли те­сти­ро­ва­ние а че­ло­век, тогда в го­ро­де B пи­са­ли те­сти­ро­ва­ние (51 − a) че­ло­век, и пусть пе­ре­ехав­ший учи­тель по­лу­чил на те­сти­ро­ва­нии t бал­лов. Пусть также всего учи­те­ля и го­ро­да А на­бра­ли S_a бал­лов, а из го­ро­да В  — S_b бал­лов.

а)  Если сред­ний балл в го­ро­де А после пе­ре­сче­та вырос в два раза, то:

За­ме­тим, что

Сле­до­ва­тель­но, ра­вен­ство не­воз­мож­но.

б)  Пусть тогда из усло­вия по­лу­ча­ем:

Из вто­ро­го ра­вен­ства сле­ду­ет, что 52 − a крат­но 10. За­пи­шем пер­вое в виде от­ку­да Таким об­ра­зом, a  =  2. Зна­чит, S_b  =  49, сле­до­ва­тель­но, t  =  6. Имеем:

По­лу­чен­ное ра­вен­ство не­воз­мож­но для целых S_a, по­это­му ответ нет.

в)  Пусть Ана­ло­гич­но пунк­ту б) по­лу­ча­ем, что 52 − a крат­но 10 и a < 11. Тогда верна си­сте­ма урав­не­ний

Таким об­ра­зом, n крат­но 3. Возь­мем наи­мень­шее такое n: пусть n  =  3. Тогда S_b  =  147; S_a  =  40, t  =  18, a  =  2.

По­ка­жем, что такой слу­чай воз­мо­жен. На­при­мер, если в го­ро­де А пи­са­ли тест 2 учи­те­ля, на­бра­ли: 18 и 22 балла. Сред­ний балл до пе­ре­ез­да 20 бал­лов. Если пе­ре­ехал учи­тель, на­брав­ший 18 бал­лов, то новый сред­ний балл равен 22  — вырос на 10%. Тогда в го­ро­де B пи­са­ли тест 49 учи­те­лей. Если все они на­пи­са­ли тест на 3, 3..., 3 балла, сред­ний балл до пе­ре­ез­да равен 3, а после пе­ре­ез­да   — тоже вырос на 10%.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.