РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размера m × n клеток и проведена его диагональ. Все вершины прямоугольника лежат в узлах сетки и стороны прямоугольника не пересекают клетки.

а)  Через сколько узлов сетки пройдет диагональ, если $m=100,$ $n=64.$

б)  На сколько частей эта диагональ делится линиям сетки, если $m=195,$ $n=221.$

в)  Найдите m и n, если известно, что числа m и n взаимно простые, m < n и диагональ этого прямоугольника не пересекает ровно 2020 клеток этого прямоугольника.

Решение. Докажем сначала, что общее число клеток, через которые проходит диагональ, равно $m плюс n минус \mboxНОД левая круглая скобка m,n правая круглая скобка .$ В самом деле, прямоугольник содержит m горизонтальных линий сетки и n вертикальных. Прямая пересекает их все и каждый отрезок между соседними линиями лежит в одной клетке. Осталось только узнать, сколько раз она пересекает сразу две линии, то есть проходит через узел решетки.

Пусть первый узел, через который она проходит, имеет координаты $левая круглая скобка x; y правая круглая скобка ,$ тогда все остальные узлы имеют координаты вида $левая круглая скобка kx; ky правая круглая скобка$ (поскольку у прямой, проходящей через начало координат, отношение координат постоянно). Ясно, что x, y  — взаимно простые числа, так как если она делятся на d, то точка $левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: d конец дроби ; дробь: числитель: y, знаменатель: d конец дроби правая круглая скобка$ тоже лежит на диагонали. Тогда k обязано быть целым  — иначе его знаменатель не сможет целиком сократиться и с x и с y и точка $левая круглая скобка kx; ky правая круглая скобка$ не будет целой. Итак, она проходит в точности через узлы вида $левая круглая скобка kx; ky правая круглая скобка .$ Значит, $m=kx,$ $n=ky,$ причем x, y  — взаимно просты. Это и означает, что $k=\mboxНОД левая круглая скобка m,n правая круглая скобка .$

Итак, общее число пересечений с линиями составит $m плюс n минус \mboxНОД левая круглая скобка m,n правая круглая скобка$ (мы вычитаем те, которые были посчитаны два раза и не учитываем начальную вершину прямоугольника, но учитываем конечную). Значит, именно столько клеток и пересекает наша прямая.

Перейдем теперь к задаче.

а)  Число узлов равно $1 плюс \mboxНОД левая круглая скобка 64;100 правая круглая скобка =5.$

б)  Число частей совпадает с числом клеток, по которым проходит диагональ. Поэтому ответ $195 плюс 221 минус 13=403.$

в)  По условию $mn минус левая круглая скобка m плюс n минус 1 правая круглая скобка =2020 равносильно$ $mn минус m минус n плюс 1=2020 равносильно$ $левая круглая скобка m минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка =2020.$

Число 2020 раскладывается на множители такими способами:

$2020=1 умножить на 2020,$ то есть m  =  2, n  =  2021;

$2020=2 умножить на 1010,$ то есть m  =  3, n  =  1011, не подходят, оба числа кратны 3;

$2020=4 умножить на 505,$ то есть m  =  5, n  =  506;

$2020=5 умножить на 404,$ то есть m  =  6, n  =  405, не подходят, оба числа кратны 3;

$2020=10 умножить на 202,$ то есть m  =  11, n  =  203;

$2020=20 умножить на 101,$ то есть m  =  21, n  =  102, не подходят, оба числа кратны 3.

Ответ: а) 5; б) 403; в) (2, 2021), (5, 506), (11, 203).

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	537139	а) 5; б) 403; в) (2, 2021), (5, 506), (11, 203).

Ключ