РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 537136 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 307 (часть 2)

Сложная планиметрия. Комбинации фигур

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность единичного радиуса. Известно, что $AB= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента ;$ угол $ABE= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ угол $EBD= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби ;$ $BC=CD.$

а)  Докажите, что центр окружности лежит на одной из диагоналей пятиугольника.

б)  Найдите площадь пятиугольника.

Решение. а)  По теореме синусов $дробь: числитель: AB, знаменатель: синус \angle AEB конец дроби =2R=2,$ то есть $синус \angle AEB= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$ Тогда угол AEB равен 45°, откуда угол BAE равен 90°. Следовательно, BE  — диаметр окружности.

б)  Поскольку угол EBD равен 30°, то дуга ED равна 60°, тогда дуги CD и ED равны также 60°, следовательно, угол BDC равен 30°. Таким образом, получим $BD=BE умножить на косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Далее найдем:

$BC=2R умножить на синус \angle BDC=2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =1.$

Вычислим площадь пятиугольника ABCDE:

$S_ABCDE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка AB умножить на BE умножить на синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс BE умножить на BD умножить на синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс BD умножить на BC умножить на синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$

$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента умножить на 2 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на 1 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 2 плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента плюс дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =1 плюс дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: 4 плюс 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) $дробь: числитель: 4 плюс 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

537136

б) $дробь: числитель: 4 плюс 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 307 (часть 2)

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	537136	б) $дробь: числитель: 4 плюс 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$