PDF-версии: 
Окружность проходит через вершины C и D трапеции ABCD, касается боковой стороны AB в точке B и пересекает большее основание AD в точке K. Известно, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите радиус этой окружности.
Решение. а) Углы CBD и ADB равны как накрест лежащие, углы ABD и BCD равны по теореме об угле между касательной и хордой. Таким образом, треугольники ABD и DCB подобны по двум углам, откуда
то есть
б) Заметим, что 
то есть 
Следовательно, 
а значит, AB = BD. Из подобия треугольников ABD и DCB находим, что BC = CD. Используя следствие из теоремы косинусов, находим
Значит, угол C = 120°, тогда по обобщенной теореме синусов
откуда R = 5.
Ответ: б) 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |