Тип Д18 C7 № 532058 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
Известно, что n и m — натуральные числа.
а) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполняется равенство 
?
б) Существует ли пара чисел n и m, для которых выполняется равенство 
?
в) Найдите все пары чисел n и m, для которых выполняется равенство 
Решение. а) Да, например, 
б) Да, например, 
в) Ясно, что 
откуда 
а значит, число n может быть равно только 1, 2, 3 и 4. Проверим эти числа:
Ответ: а) да, б) да, в) 
или 
Примечание.
Пример в пункте а) не единственный. Чтобы найти все возможные варианты, выразим n из исходного равенства и выделим в полученной дроби целую часть:
Полученное уравнение имеет решения в натуральных числах, только если дробь, стоящая в левой части выражения, сократима. Следовательно, 722 должно делиться на 
Например, подходит значение 
тогда 
Пример в пункте б) единственный. Чтобы доказать это, воспользуемся идеей, примененной в пункте в). Заметим, что 
откуда 
Следовательно, 
Найденные значения можно перебрать.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да, б) да, в)
или
532058
а) да, б) да, в)
или
PDF-версии: