Ре­ше­ние. Решим за­да­чу графо-ана­ли­ти­че­ским спо­со­бом. Пре­об­ра­зу­ем пер­вое урав­не­ние ис­ход­ной си­сте­мы:

Пре­об­ра­зу­ем вто­рое урав­не­ние ис­ход­ной си­сте­мы:

Изоб­ра­зим гра­фи­ки урав­не­ний в си­сте­ме ко­ор­ди­нат Гра­фи­ком пер­во­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся та часть окруж­но­сти с цен­тром в точке и ра­ди­у­сом ко­то­рая при­над­ле­жит по­ло­се между пря­мой и пря­мой Со­от­вет­ству­ю­щие две дуги окруж­но­сти вы­де­ле­ны на ри­сун­ке синим цве­том. Гра­фи­ком вто­ро­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы яв­ля­ет­ся пучок пря­мых, про­хо­дя­щих через точку

Тре­бу­ет­ся найти зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых гра­фи­ки урав­не­ний ис­ход­ной си­сте­мы имеют одну общую точку. Сле­до­ва­тель­но, си­сте­ма имеет ровно одно ре­ше­ние при

где   — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой про­хо­дя­щей через точку (вы­де­ле­но оран­же­вым),   — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, про­хо­дя­щей через точку (вы­де­ле­но фи­о­ле­то­вым),   — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой, про­хо­дя­щей через точку (вы­де­ле­но зелёным),   — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой ко­то­рая ка­са­ет­ся дуги окруж­но­сти (вы­де­ле­но крас­ным).

По гра­фи­ку по­лу­ча­ем, что Найдём ис­поль­зуя фор­му­лу рас­сто­я­ния от точки до пря­мой. Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой долж­но рав­нять­ся имеем:

От­ку­да по­лу­ча­ем:

По смыс­лу за­да­чи по­это­му От­ме­тим также, что зна­чит, ис­ход­ная си­сте­ма имеет ровно одно ре­ше­ние при или или

Ответ:

При­ме­ча­ние. до­пол­ни­тель­но от­ме­тим, что ис­ход­ная си­сте­ма не имеет ре­ше­ний при или имеет два ре­ше­ния при или при