РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Завод закупает станки двух типов, на приобретение которых выделено 34 миллиона рублей. Станок первого типа занимает площадь 7 м² (с учетом проходов), производит за смену 5000 единиц продукции и стоит 4 миллиона рублей. Станок второго типа занимает площадь 4 м² (с учетом проходов), производит за смену 3000 единиц продукции и стоит 3 миллиона рублей. Станки должны быть размещены на площади, не превышающей 50 м². Сколько станков каждого типа нужно приобрести, чтобы производить за смену наибольшее количество продукции?

Решение. Пусть завод закупит x станков первого типа и y станков второго типа. Тогда, справедлива система неравенств:

$система выражений 4x плюс 3y\leqslant34,7x плюс 4y\leqslant50. конец системы .$       (*)

Требуется найти, при каких значениях x и yдостигается наибольшее значение выражения $5x плюс 3y.$

Заметим, что x и y  — неотрицательные целые числа. При этом наибольшее возможное значение x равно 7: в противном случае второе неравенство системы не выполняется. При каждом значении x значение выражения $5x плюс 3y$ тем больше, чем больше значение y. Решим задачу перебором. Для каждого значения x найдём наибольшее возможное значение y, при котором верна система (*), а также значение выражения $5x плюс 3y.$

Значение x	Наибольшее возможное значение y	Значение $5x плюс 3y$
0	11	33
1	10	35
2	8	34
3	7	36
4	5	35
5	3	34
6	2	36
7	0	35

Таким образом, чтобы производить за смену наибольшее количество продукции, заводу необходимо закупить 3 станка первого типа и 7 станков второго типа или 6 станков первого типа и 2 станка второго типа. Заметим также, что вторая комбинация обойдётся заводу дешевле на 3 млн руб.

Ответ: 3 станка первого типа и 7 станков второго типа или 6 станков первого типа и 2 станка второго типа.

Примечание.

Перебор можно заменить графическим исследованием. Изобразим решение системы (*) и семейство прямых $5x плюс 3y=a$ (см. рис., целочисленные решения системы изображены цветными точками).

Наибольшему возможному значению a соответствует такое положение прямой, при котором прямая проходит хотя бы через одно целочисленное решение системы, и нет целочисленных решений, лежащих выше прямой (изображено красным цветом). Из рисунка видно, что искомые значения переменных соответствуют либо 3 станкам первого типа и 7 станкам второго типа, либо 6 станкам первого типа и 2 станкам второго типа.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

№ п/п	№ задания	Ответ
1	531561	3 станка первого типа и 7 станков второго типа или 6 станков первого типа и 2 станка второго типа.

Ключ