РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 531560 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 299

Сложная планиметрия. Комбинации фигур

Окружность с центром на диагонали АС трапеции ABCD (BC || AD) проходит через вершины А и В, касается стороны CD в точке С и пересекает основание AD в точке Е так, что $CD = 6 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента ,$ AE  =  8.

а)  Найдите площадь трапеции ABCD.

б)  Прямые CD и ВЕ пересекаются в точке Q. Найдите BQ.

Решение. а)  По теореме о квадрате касательной $DC в квадрате = DE умножить на DA,$ $левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате = DE умножить на левая круглая скобка DE плюс 8 правая круглая скобка .$ Следовательно, DE  =  18.

Так как OC радиус, а CD касательная, то OC перпендикулярна CD. Заметим, что угол ABC равен 90°, так как опирается на диаметр окружности, угол ACD равен 90° как угол между диаметром и касательной. Углы BCA и CAD равны как накрест лежащие.

По теореме Пифагора:

$AC в квадрате =AD в квадрате минус CD в квадрате ,$

$26 в квадрате минус левая круглая скобка 6 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате =676 минус 468=208.$

Таким образом, $AC=4 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$

Поскольку треугольники ABC и DCA подобны, то

$дробь: числитель: AB, знаменатель: DC конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: CA конец дроби = дробь: числитель: AC, знаменатель: DA конец дроби ,$

$дробь: числитель: AB, знаменатель: 6 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: 4 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 4 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 26 конец дроби .$

Откуда AB  =  12, а BC  =  8. Следовательно, $S_ABCD= дробь: числитель: 8 плюс 26, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 12=204.$

б)  Так как треугольники QBC и QED подобны, то $дробь: числитель: QB, знаменатель: QE конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: ED конец дроби .$

Заметим, что $BE=AC=4 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$ Значит:

$дробь: числитель: BQ, знаменатель: BQ плюс 4 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 18 конец дроби ,$

$18BQ=8BQ плюс 32 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента ,$

$10BQ=32 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента .$

Следовательно, $BQ= дробь: числитель: 16 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

Ответ: а) 204; б) $дробь: числитель: 16 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: а) 204; б) $дробь: числитель: 16 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

531560

а) 204; б) $дробь: числитель: 16 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 299

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	531560	а) 204; б) $дробь: числитель: 16 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента , знаменатель: 5 конец дроби .$