PDF-версии: 
Пусть S(x) — сумма цифр натурального числа x. Решите уравнения:
а) x + S(x) = 2017;
б) x + S(x) + S(S(x)) = 2017;
в) x + S(x) + S(S(S(x))) = 2017.
г) x + S(x) + S(S(x)) + S(S(S(x))) = 2017.
Решение. Сразу заметим, что x < 2017 во всех пунктах. Кроме того, 
Наконец, остатки от деления на 9 у чисел x, S(x), S(S(x)), ... равны.
а) Из вышесказанного следует, что 
а остаток от деления на 9 числа x равен 5 (только 5 + 5 дает остаток 1 при делении на 9 как и 2017). Перебирая числа 1994, 2003, 2012, получаем, что первое и третье подходят.
б), в) Сумма трех чисел с одинаковыми остатками от деления на 9 всегда кратна трем, поэтому такое невозможно.
г) В силу неравенств S(x) ≤ 28, S(S(x)) ≤ 10, заключаем, что S(S(S(x))) — однозначное число. Пусть оно равно m. Число 2017 при делении на 9 дает остаток 1, а левая часть при делении на 9 дает остаток 4m, поэтому 4m = 9n + 1. Единственное возможное значение m = 7, а тогда S(S(x)) = 7 и уравнение примет вид x + S(x) + 7 + 7 = 2017, или x + S(x) = 2003. В силу того, что S(x) не больше 28, получаем, что S(x) равно 7, или 16, или 25. Рассмотрим эти случаи.
Если S(x) = 7, то x ≤ 1600, тогда равенство x + S(x) = 2003 невозможно.
Если S(x) = 16, то x ≤ 1960, и сумма x + S(x) меньше 2017.
Если S(x) = 25, то x = 2003 − 25=1978.
Ответ: а) 1994, 2012; б), в) нет решений; г) 1978.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |