Ре­ше­ние. а)  По­стро­им ука­зан­ные плос­ко­сти. Через точку B про­ведём пря­мую BL, па­рал­лель­ную NA тогда пер­вое се­че­ние BLQ. Оче­вид­но, что QB  — также ме­ди­а­на и вы­со­та, зна­чит,

В грани PMN про­ве­дем ме­ди­а­ну, вы­со­ту, бис­сек­три­су MB, S  — точка пе­ре­се­че­ния MB и NA. В плос­ко­сти MBQ про­ве­дем пря­мую ST, па­рал­лель­ную BQ (где тогда вто­рое се­че­ние NAT. За­ме­тим, что

Вы­чис­лим:

б)  Рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми NA и QB равно рас­сто­я­нию между па­рал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми NAT и BLQ. Най­дем его как h_Q  — вы­со­ту тет­ра­эд­ра QANT, про­ве­ден­ную из вер­ши­ны Q. Вы­чис­лим где h_A  — вы­со­та, про­ве­ден­ная из вер­ши­ны A. Пусть H  — вы­со­та тет­ра­эд­ра PQMN, тогда

Вы­чис­лим те­перь пло­щадь тре­уголь­ни­ка NAT. Имеем:

Пусть далее тогда

от­ку­да а Тем самым

Ответ: а) б)

При­ме­ча­ние.

Ис­хо­дя из по­до­бия тре­уголь­ни­ков и тео­ре­мы о со­от­но­ше­нии пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков, име­ю­щих рав­ный угол, опре­де­лим от­но­ше­ние объёмов тет­ра­эд­ров, име­ю­щих рав­ный трёхгран­ный угол:

Таким об­ра­зом, от­но­ше­ние объёмов равно от­но­ше­нию про­из­ве­де­ний трёх рёбер, ис­хо­дя­щих из вер­ши­ны об­ще­го трёхгран­но­го угла каж­до­го тет­ра­эд­ра.