PDF-версии: 
Квадраты ABCD и A1B1C1D1 (вершины названы по часовой стрелке) совпадают вершинами C и B1. Точки O и O1 — центры квадратов.
а) Докажите, что прямая OO1 пересекает отрезки A1B и C1D под одинаковыми углами.
б) Найдите OO1, если 
Решение. а) Заметим, что при повороте на 90° вокруг точки C, прямая BA1 переходит в прямую DC1. Прямая BA1 перпендикулярна прямой DC1, значит, углы BED и C1EA1 равны 90° (точка E — пересечение BA1 и C1D). Тогда окружности, описанные около квадратов, пересекаются в точках C и E, следовательно
Прямая CE перпендикулярна прямой OO1, значит
Аналогично, угол DME равен 45° (здесь точка K — пересечение BA1 и OO1, а точка M — пересечение C1D и OO1).
б) Прямая BA1 переходит в DC1 при повороте, 
Пусть P и Q — проекции точек O и O1 соответственно на прямую BA1. Точка P — середина BE, точка Q — середина A1E, тогда
Ответ: 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |