Тип Д10 C2 № 530700 
Сложная стереометрия. Многогранники
i
В основании четырехугольной пирамиды SKLMN лежит равнобедренная трапеция KLMN, описанная около окружности и такая, что KN = LM = 4, MN > KL и угол между прямыми KN и LM равен 60°. Две противоположные грани этой пирамиды перпендикулярны основанию и SM = 12.
а) Найдите объем пирамиды SKLMN.
б) Найдите расстояние от точки M до плоскости SKL.
Решение. 
а) Заметим, что если грани пирамиды, проходящие через основания пирамиды, перпендикулярны основанию, то они параллельны. Значит, перпендикулярны основанию грани, проходящие через боковые стороны трапеции KN и LM. Пусть прямые KN и LM пересекаются в точке P, следовательно, P — точка пересечения плоскостей SLM и SNK, 
Заметим, что так как плоскость SLM перпендикулярна плоскости KLMN и плоскость SNK перпендикулярна плоскости KLMN, то прямая SP перпендикуляра плоскости KLMN, то есть SP — высота пирамиды.
Так как трапеция равнобедренная, то углы PMN и PNM равны, и треугольник PNM равнобедренный с углом при вершине 60°, а значит треугольник PMN — равносторонний. Окружность, вписанная в трапецию KLMN, является также окружностью, вписанной в треугольник PMN. Её радиус
следовательно, 
откуда 
а 
Тогда
б) Прямая MN параллельна плоскости SKL, поэтому 
где H2 — середина MN. Рассмотрим плоскость SPH2. Прямая SP перпендикулярна прямой KL, прямая PH1 перпендикулярна прямой KL, следовательно, прямая KL перпендикулярна плоскости SPH2. Опустим из H2 перпендикуляр на прямую SH1, 
значит, прямая H2O перпендикулярна прямым KL и SH1, следовательно, прямая H2O перпендикулярна плоскости SKL и H2O является искомым расстоянием.
Треугольники H2OH1 и SPH1 подобны, следовательно, 
Из п. а) следует:
Тогда
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов — а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а)
б)
530700
а)
б)
PDF-версии: