Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 530558
i

Точки P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BQ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой B1P.

б)  Пусть H  — про­ек­ция точки Q на пря­мую B1P. Най­ди­те B1H, если AB  =  24.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть ребро куба равно 4a. От­ме­тим на ребре DD1 такую точку E, что DE=a. Пря­мая PE па­рал­лель­на пря­мой BQ, сле­до­ва­тель­но, не­об­хо­ди­мо про­ве­рить, что \angle EPB_1=90 гра­ду­сов.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра вы­чис­лим длины сто­рон тре­уголь­ни­ка EPB1:

PE в квад­ра­те =PD в квад­ра­те плюс DE в квад­ра­те =5a в квад­ра­те ,

B_1E в квад­ра­те =B_1D_1 в квад­ра­те плюс D_1E в квад­ра­те =32a в квад­ра­те плюс 9a в квад­ра­те =41a в квад­ра­те ,

B_1P в квад­ра­те =B_1B в квад­ра­те плюс BA в квад­ра­те плюс AP в квад­ра­те =16a в квад­ра­те плюс 16a в квад­ра­те плюс 4a в квад­ра­те =36a в квад­ра­те , B_1P=6a.

По­сколь­ку

5a в квад­ра­те плюс 36a в квад­ра­те =41a в квад­ра­те =B_1E в квад­ра­те =PE в квад­ра­те плюс B_1P в квад­ра­те ,

по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, по­лу­ча­ем, что \angle EPB_1=90 гра­ду­сов, то есть пря­мая BQ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой B1P.

б)  По­сколь­ку пря­мая BQ пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой B1P, про­ек­ции точек B и Q на пря­мую B1P сов­па­да­ют. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BB1P имеем

ко­си­нус \angle HB_1B= дробь: чис­ли­тель: HB_1, зна­ме­на­тель: B_1B конец дроби = дробь: чис­ли­тель: B_1B, зна­ме­на­тель: PB_1 конец дроби ,

от­ку­да

HB_1= дробь: чис­ли­тель: B_1B в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: PB_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 576, зна­ме­на­тель: 36 конец дроби =16.

Ответ: б) 16.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 530456: 530558 Все

Классификатор стереометрии: Куб, Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мых
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026