PDF-версии: 
Точки P и Q — середины рёбер AD и CC1 куба ABCDA1B1C1D1 соответственно.
а) Докажите, что прямая BQ перпендикулярна прямой B1P.
б) Пусть H — проекция точки Q на прямую B1P. Найдите B1H, если AB = 24.
Решение. а) Пусть ребро куба равно 4a. Отметим на ребре DD1 такую точку E, что
Прямая PE параллельна прямой BQ, следовательно, необходимо проверить, что 
По теореме Пифагора вычислим длины сторон треугольника EPB1:
Поскольку
по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что 
то есть прямая BQ перпендикулярна прямой B1P.
б) Поскольку прямая BQ перпендикулярна прямой B1P, проекции точек B и Q на прямую B1P совпадают. В прямоугольном треугольнике BB1P имеем
откуда
Ответ: б) 16.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |