РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д18 C7 № 530388 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 294

Числа и их свойства. Сюжетные задачи: кино, театр, мотки верёвки

В классе учится 15 мальчиков и n девочек. Анализируя успеваемость учащихся по предмету за полугодие, завуч заметил, что общее количество оценок в журнале составляет n² + 13n − 2, причём все ученики имеют одинаковое количество оценок.

а)  Может ли в классе быть 16 девочек?

б)  Сколько может быть девочек в классе?

в)  Сколько оценок получил каждый ученик по предмету за полугодие?

Решение. а)  При $n=16$ общее число оценок составит $16 в квадрате плюс 13 умножить на 16 минус 2=462,$ что не делится на $15 плюс 16=31.$

б)  Всего учеников в классе $n плюс 15,$ поэтому

$n в квадрате плюс 13n минус 2=n левая круглая скобка n плюс 15 правая круглая скобка минус 2n минус 2=n левая круглая скобка n плюс 15 правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка n плюс 15 правая круглая скобка плюс 28$

должно делиться на $n плюс 15.$ Тогда 28 делится на $n плюс 15,$ причем n  — неотрицательное число. Единственный делитель 28, не меньший 15  — само число 28. Тогда $n плюс 15=28,$ откуда $n=13.$

в)  Общее число оценок равно $13 в квадрате плюс 13 умножить на 13 минус 2=336=28 умножить на 12,$ поэтому каждый получил 12 оценок.

Приведём другое решение.

Пусть каждый ученик получил k оценок, тогда 15 мальчиков получили 15k оценок, а n девочек  — kn оценок. Общее количество оценок равно $n в квадрате плюс 13n минус 2,$ поэтому $левая круглая скобка n плюс 15 правая круглая скобка m=n в квадрате плюс 13n минус 2,$ где числа k и n  — натуральные. Выразим k:

$k= дробь: числитель: n в квадрате плюс 13n минус 2, знаменатель: n плюс 15 конец дроби =n минус 2 плюс дробь: числитель: 28, знаменатель: n плюс 15 конец дроби .$

Правая часть должна быть натуральным числом, а значит, дробь, стоящая в ней, должна быть сократима. Так как знаменатель дроби $n плюс 15$ не меньше 16, он может быть равен только 28. Тогда $n=13,$ откуда $k=12.$ Тем самым, в классе учится 13 девочек, каждый из учащихся получил 12 оценок.

Ответ: а) нет; б) 13; в) 12.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) нет; б) 13; в) 12.

530388

а) нет; б) 13; в) 12.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 294

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	530388	а) нет; б) 13; в) 12.