РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 16 № 530240 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 293

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Финансовая математика. Кредиты

Андрей Петрович взял кредит на несколько лет и выплатил его равными ежегодными платежами по 200 000 руб. При этом в начале каждого года сумма кредита увеличивалась на 10%, а в конце года производился платёж. Если бы Андрей Петрович не делал платежей, то за это время вследствие начисления процентов сумма кредита составила бы 928 200 руб. На сколько лет был взят кредит?

Решение. Пусть кредит взят на n лет, сумма кредита равна S руб., ежегодные платежи составляют x руб., повышающий коэффициент $k=1 плюс дробь: числитель: 10, знаменатель: 100 конец дроби =1,1.$ Составим таблицу по данным задачи.

Номер года	Долг в начале года (с учетом процентов), руб.	Платёж, руб.	Долг в конце года (после платежа), руб.
			S
1	kS	x	$kS минус x$
2	$k в квадрате S минус kx$	x	$k в квадрате S минус kx минус x$
...	...	...	...
n	$k в степени n S минус k в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x минус k в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка x минус ... минус kx$	x	$k в степени n S минус k в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x минус k в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка x минус ... минус kx минус x$

Преобразуем выражение для долга в конце n-го года:

$k в степени n S минус k в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x минус k в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка x минус ... минус kx минус x=k в степени n S минус x левая круглая скобка k в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс k в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс ... плюс k плюс 1 правая круглая скобка =k в степени n S минус x умножить на дробь: числитель: k в степени n минус 1, знаменатель: k минус 1 конец дроби .$ $k в степени n S минус k в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка x минус k в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка x минус ... минус kx минус x=$
$=k в степени n S минус x левая круглая скобка k в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка плюс k в степени левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка плюс ... плюс k плюс 1 правая круглая скобка =k в степени n S минус x умножить на дробь: числитель: k в степени n минус 1, знаменатель: k минус 1 конец дроби .$

Если бы заёмщик не делал платежей, то сумма кредита составила бы 928 200 руб.:

$k в степени n S минус 0 умножить на дробь: числитель: k в степени n минус 1, знаменатель: k минус 1 конец дроби =928200,$

откуда $k в степени n S=928200.$

Кредит был выплачен равными ежегодными платежами по 200 000 руб., поэтому

$k в степени n S минус 200000 умножить на дробь: числитель: k в степени n минус 1, знаменатель: k минус 1 конец дроби =0.$

Подставляя $k в степени n S=928200,$ находим:

$928200 минус 200000 умножить на дробь: числитель: k в степени n минус 1, знаменатель: k минус 1 конец дроби =0 равносильно дробь: числитель: k в степени n минус 1, знаменатель: k минус 1 конец дроби =4,641 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 1,1 в степени n минус 1, знаменатель: 1,1 минус 1 конец дроби =4,641 равносильно 1,1 в степени n минус 1=0,4641 равносильно 1,1 в степени n =1,4641 равносильно n=4.$

Ответ: кредит был взят на 4 года.

Примечание редакции Решу ЕГЭ.

Читатель Иван Новиков заметил, что это задание из варианта Александра Ларина некорректно. Нет такой суммы, которую Андрей Петрович мог бы взять в кредит так, чтобы за n лет долг оказался равен 928 200 руб. Это число не делится на 11 и не могло быть получено умножением натурального числа на 1,1ⁿ. Данная в условии сумма кредита не выражается ни целым числом рублей, ни даже конечной десятичной дробью.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Ответ: кредит был взят на 4 года.

530240

кредит был взят на 4 года.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 293

Классификатор алгебры: Задачи о кредитах

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	530240	кредит был взят на 4 года.