PDF-версии: 
В правильном тетраэдре ABCD точка K — центр грани ABD, точка M — центр грани ACD.
а) Докажите, что прямые BC и KM параллельны.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABD.
Решение. а) Рассмотрим медиану CH в треугольнике CAD и медиану BH в треугольнике BAD. Заметим, что
следовательно, 
Таким образом, треугольники HKM и HBC подобны, а прямые KM и BC параллельны.
б) Отрезок CK соединяет вершину C c точкой K — центром противоположной грани BAD, следовательно, CK — высота тетраэдра, и прямая CK перпендикулярна грани BDA. Тогда плоскость BCH перпендикулярна плоскости BAD, следовательно, проекция KM — это прямая BH, а искомый угол — HKM. Найдём его из треугольника KMH. Пусть ребро тетраэдра a, тогда 
По теореме косинусов,
а тогда 
Ответ: б) 
Приведем решение Ирины Шраго пункта б).
Заметим, что, согласно п. а), угол между прямой KM и плоскостью ABD равен углу между прямой BC и плоскостью ABD, то есть углу CBK.
Пусть ребро тетраэдра рано a, тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |