РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 529300 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 289

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Классификатор планиметрии: Комбинации фигур, Окружности, Окружность, описанная вокруг треугольника, Треугольники

Планиметрическая задача. Окружности и треугольники, разные задачи

В треугольнике ABC биссектриса угла B пересекает описанную окружность этого треугольника в точке F. Точка E  — центр окружности, касающейся стороны АС и продолжений сторон AB и BC (вневписанной окружности). Точка O  — центр вписанной окружности треугольника ABC.

а)  Докажите, что отрезки AF и OF равны.

б)  Найдите длину отрезка CF, если OE  =  14.

Решение. а)  Углы FAC и FBC равны как вписанные, AO  — биссектриса, поэтому

$\angle BAO=\angle OAC,$

$\angle FOA=\angle OBA плюс \angle OAB=\angle FAC плюс \angle OAC=\angle FAO,$

значит, треугольник FAO равнобедренный, поэтому $OF=AF.$

б)  Точка E лежит на пересечении биссектрисы угла B и биссектрисы внешнего угла A. Имеем:

$\angle OAE= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle BAC плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 180 градусов минус \angle BAC правая круглая скобка =90 градусов,$

следовательно, треугольник OAE прямоугольный. Далее, $AF=FO,$ значит, AF  — медиана. Найдём её:

$AF= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OE=7.$

Теперь рассмотрим треугольник AFC:

$\angle ACF=\angle ABF=\angle FBC=\angle FAC,$

значит, $AF=FC=7.$

Ответ: 7.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 7.

529300

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 289

Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	529300	7.