РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 528990 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 288

Сложная планиметрия. Треугольники

В остроугольном треугольнике ABC угол А равен 40°, отрезки BB₁ и CC₁  — высоты, точки B₂ и С₂  — середины сторон AC и AB соответственно. Прямые B₁C₂ и C₁B₂ пересекаются в точке K.

а)  Докажите, что точки B₁, B₂, С₁ и С₂ лежат на одной окружности.

б)  Найдите угол B₁KB₂.

Решение. а)  Заметим, что точки B, C₁, B₁, C лежат на одной окружности с диаметром BC. Поэтому

$\angle ACB плюс \angle BC_1B_1=180 градусов,$

$\angle C_2C_1B_1=180 градусов минус \angle BC_1B_1=\angle ACB.$

Прямые C₂B₂ и BC параллельны, значит,

$\angle C_2B_2B_1=180 градусов минус \angle ACB,$

$\angle C_2C_1B_1 плюс \angle C_2B_2B_1=180 градусов.$

Следовательно, точки B₁, B₂, C₁, C₂ лежат на одной окружности.

б)  В треугольнике AC₁C отрезок C₁B₂  — медиана, проведённая к гипотенузе. Значит,

$C_1B_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC=AB_2,$

тогда $\angle AC_1B_2=40 градусов,$ откуда $\angle C_1B_2B_1=40 градусов плюс 40 градусов=80 градусов.$

В треугольнике AB₁B B₁C₂  — медиана, проведённая к гипотенузе. Значит,

$B_1C_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB=AC_2,$

тогда $\angle C_2B_1A_1=40 градусов.$

Наконец,

$\angle B_2KB_1=180 градусов минус \angle KB_2B_1 минус \angle B_2B_1K=180 градусов минус 80 градусов минус 40 градусов=60 градусов.$

Ответ: 60°.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: 60°.

528990

60°.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 288

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	528990	60°.