РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 527983 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 283

Сложные задачи с параметром. Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 3x минус 4 правая круглая скобка левая круглая скобка a плюс 9x плюс 5 правая круглая скобка = минус 1$ имеет единственный корень на промежутке $левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ;2 правая квадратная скобка .$

Решение. Заметим, что если $дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби меньше x меньше или равно 2,$ то $4 меньше 3x меньше или равно 6,$ a $0 меньше 3x минус 4 меньше или равно 2.$ Сделаем замену $t=3x минус 4,$ тогда $3t=9x минус 12.$ Теперь переформулируем задачу: требуется найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $логарифм по основанию t левая круглая скобка a плюс 3t плюс 17 правая круглая скобка = минус 1$ имеет единственный корень на промежутке $левая круглая скобка 0;2 правая квадратная скобка .$

Выполним преобразования:

$логарифм по основанию t левая круглая скобка a плюс 3t плюс 17 правая круглая скобка = минус 1 равносильно система выражений a плюс 3t плюс 17= дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби ,t больше 0,t не равно 1 конец системы . равносильно система выражений a= минус 3t минус 17 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби левая круглая скобка * правая круглая скобка ,t больше 0,t не равно 1 конец системы .$ $логарифм по основанию t левая круглая скобка a плюс 3t плюс 17 правая круглая скобка = минус 1 равносильно система выражений a плюс 3t плюс 17= дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби ,t больше 0,t не равно 1 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений a= минус 3t минус 17 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби левая круглая скобка * правая круглая скобка ,t больше 0,t не равно 1 конец системы .$

Заметим, что при $t больше 0$ правая часть уравнения $левая круглая скобка * правая круглая скобка$ монотонно убывает (как сумма монотонно убывающих функций) и каждое своё значение принимает ровно один раз. Значит, уравнение $левая круглая скобка * правая круглая скобка$ и вся система не могут иметь более одного решения.

При этом, если $t \to 0,$ то $a= минус 3t минус 17 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби \to плюс бесконечность ;$ если $t =2 ,$ то $a= минус 3 умножить на 2 минус 17 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби = минус 22,5.$ Значит, при $t больше 0$ уравнение $левая круглая скобка * правая круглая скобка$ имеет одно решение на отрезке $левая круглая скобка 0;2 правая квадратная скобка$ при $a\geqslant минус 22,5.$

Осталось исключить значение параметра, при котором $t =1.$ Если $t =1,$ то $a= минус 3 умножить на 1 минус 17 плюс 1= минус 19.$

Таким образом, исходное уравнение имеет единственный корень на промежутке $левая круглая скобка дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби ;2 правая квадратная скобка$ при $минус 22,5 меньше или равно a меньше минус 19$ или $a больше минус 19.$

Ответ: $a принадлежит левая квадратная скобка минус 22,5; минус 19 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 19; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Примечание.

Полезно сравнить это задание с заданием 505039 из ЕГЭ−2013.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

527983

$a принадлежит левая квадратная скобка минус 22,5; минус 19 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 19; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 283

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527983	$a принадлежит левая квадратная скобка минус 22,5; минус 19 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 19; плюс бесконечность правая круглая скобка .$