Ре­ше­ние. а)  От­ре­зок MN яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка ABC, сле­до­ва­тель­но, Таким об­ра­зом, се­че­ние пе­ре­се­ка­ет грань SAC по пря­мой, также па­рал­лель­ной AC. Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния се­че­ния с реб­ром SC, тогда а се­че­ние KLMN  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

Рас­смот­рим се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью BSH, где H  — се­ре­ди­на сто­ро­ны AC. Пусть R и T  — се­ре­ди­ны ос­но­ва­ний MN и KL тра­пе­ции со­от­вет­ствен­но. Тогда вы­со­та тра­пе­ции RT про­хо­дит через точку Q пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции, причём так как а из по­до­бия тре­уголь­ни­ков KLQ и MNQ, по­лу­ча­ем От­ре­зок TR и вы­со­та пи­ра­ми­ды SO лежат в плос­ко­сти BSH. Пусть они пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q'. До­ка­жем, что она сов­па­да­ет с точ­кой Q. В се­че­нии BSH про­ведём от­ре­зок TW па­рал­лель­но BH, где W  — точка на вы­со­те пи­ра­ми­ды. Тре­уголь­ни­ки TQ'W и RQ'O по­доб­ны. При этом

Таким об­ра­зом, а, зна­чит, точки Q' и Q сов­па­да­ют, и Q лежит на вы­со­те пи­ра­ми­ды SO.

б)  Так как то а Оста­лось найти вы­со­ту тра­пе­ции RT. Из пунк­та а) по­лу­ча­ем, что при этом Сле­до­ва­тель­но, Тогда

От­ку­да

Ответ: