PDF-версии: 
На доске написано 100 различных натуральных чисел, сумма которых равна 5130.
а) Может ли оказаться, что на доске написано число 300?
б) Может ли оказаться, что на доске нет числа 17?
в) Какое наименьшее количество чисел, кратных 17, может быть на доске?
Решение. а) Предположим, на доске написано число 300. Тогда возьмём 99 наименьших различных натуральных чисел и число 300:
1, 2, 3, ... , 98, 99, 300.
Их сумма 
Значит, если на доске написано число 300, то сумма всех написанных чисел не может быть меньше 5250, что противоречит условию.
б) Предположим, на доске не написано число 17. Тогда возьмём числа
1, 2, 3, ... ,15, 16, 18, 19, 20, ... , 99, 100, 101.
Их сумма 
Значит, если на доске не написано число 17, то сумма всех написанных чисел не может быть меньше 5134, что противоречит условию.
в) Первыми шестью числами, кратными 17, являются числа 17, 34, 51, 68, 85, 102. Предположим, что на доске меньше трёх чисел, кратных 17. Возьмём сто различных натуральных чисел от 1 до 100, и три числа 51, 68 и 85 заменим на 101, 103, 104 (следующие наименьшие числа, не кратные 17). Получаем числа
1, 2, 3, ... , 49, 50, 52, 53, ... , 66, 67, 69, 70, ... , 83, 84, 86, 87, ... , 100, 101, 103, 104.
Их сумма 
Значит, если на доске написано меньше трёх чисел, кратных 17, то сумма всех написанных чисел не может быть меньше 5154, что противоречит условию. Значит, на доске не может быть написано меньше трёх чисел, кратных 17.
Приведём пример, для которого выполняются все условия задачи, когда на доске написано три числа кратных 17 (17, 34 и 51):
1, 2, 3, ... , 66, 67, 69, 70, ... , 83, 84, 86, 87, ... , 100, 101, 132.
Ответ: а) нет, б) нет, в) 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |