Ре­ше­ние. а)  Пусть M и N се­ре­ди­ны AB и BC, со­от­вет­ствен­но, L  — точка пе­ре­се­че­ния сред­ней линии MN с вы­со­той BH ос­но­ва­ния, точка O  — центр ос­но­ва­ния. Так как плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию, она па­рал­лель­на SO  — вы­со­те пи­ра­ми­ды. Зна­чит, плос­кость α будет пе­ре­се­кать­ся с плос­ко­стью BSH по пря­мой KL па­рал­лель­ной SO, где K  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти α с реб­ром SB. Тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са по­лу­ча­ем:

б)  За­ме­тим, что плос­кость α от­се­ка­ет от пи­ра­ми­ды SABC пи­ра­ми­ду KBMN с ос­но­ва­ни­ем BMN и вер­ши­ной K. Вы­чис­лим, какую часть со­став­ля­ет V_KBMN от V_SABC. Из пунк­та а) сле­ду­ет, что KL  — вы­со­та KBMN и Кроме того, как пло­щадь тре­уголь­ни­ка, от­се­ка­е­мо­го сред­ней ли­ни­ей MN. Зна­чит,

Таким об­ра­зом, от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость α раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду SABC, со­став­ля­ет 3 : 13.

Ответ: б) 3 : 13.