РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 527633 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 280

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, разные задачи

а)  Решите уравнение $косинус 9x минус косинус 7x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Преобразуем левую часть уравнения при помощи формулы разности косинусов:

$косинус 9x минус косинус 7x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x равносильно минус 2 синус 8x синус x= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x равносильно$

$равносильно совокупность выражений синус x=0, синус 8x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента }2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,8x= минус дробь: числитель: Пи }4 плюс 2 Пи k,8x= минус дробь: числитель: 3 Пи }4 плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби ,x= минус дробь: числитель: {, знаменатель: 3 конец дроби Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: {, знаменатель: конец дроби pi k, знаменатель: 4 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит \mathbb{Z, знаменатель: . конец дроби$ $равносильно совокупность выражений синус x=0, синус 8x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2, знаменатель: конец аргумента конец дроби 2 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k,8x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,8x= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, конец совокупности . k принадлежит Z равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби ,x= минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , конец совокупности . k принадлежит Z .$

б)  Отберём корни, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$ Учитывая, что $k принадлежит Z ,$ решим неравенства:

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно Пи k меньше или равно минус Пи ,$

$минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус 1,$

$k= минус 1.$

Значит, $x= минус Пи .$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно минус Пи ,$

$минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: минус 1 плюс 8k, знаменатель: 32 конец дроби меньше или равно минус 1,$

$минус 48 меньше или равно минус 1 плюс 8k меньше или равно минус 32,$

$минус дробь: числитель: 47, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 31, знаменатель: 8 конец дроби ,$

$k= минус 5 или k= минус 4.$

Значит, $x= минус дробь: числитель: 33 Пи , знаменатель: 32 конец дроби или x= минус дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 32 конец дроби .$

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби меньше или равно минус Пи ,$

$минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно дробь: числитель: минус 3 плюс 8k, знаменатель: 32 конец дроби меньше или равно минус 1,$

$минус 48 меньше или равно минус 3 плюс 8k меньше или равно минус 32,$

$минус дробь: числитель: 45, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно k меньше или равно минус дробь: числитель: 29, знаменатель: 8 конец дроби ,$

$k= минус 5 или k= минус 4.$

Значит, $x= минус дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 32 конец дроби или x= минус дробь: числитель: 43 Пи , знаменатель: 32 конец дроби .$

На указанном промежутке лежат числа $минус дробь: числитель: 43 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 33 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 43 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 33 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527633

а) $левая фигурная скобка Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 43 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 33 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус Пи .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 280

Методы алгебры: Тригонометрические формулы суммы и разности функций

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527633	а) $левая фигурная скобка Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 32 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби :k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 43 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 41 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 35 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус дробь: числитель: 33 Пи , знаменатель: 32 конец дроби , минус Пи .$