PDF-версии: 
В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB, 
На катете BC взята точка K такая, что 
а) Докажите, что угол KMC прямой.
б) Пусть N — вторая (помимо M) точка пересечения прямой СМ и описанной окружности треугольника BMK. Найдите угол АNВ.
Решение. а) В прямоугольном треугольнике
поэтому 
Обозначим этот угол 
Тогда и 
а
поэтому
б) Сразу заметим, что четырехугольник BKMN — вписанный, поэтому
Значит, прямая BN параллельна прямой AC. Тогда 
треугольник BMN равнобедренный и 
Значит, BNAC — параллелограмм (его диагонали делятся пополам точкой пересечения), поэтому 
Ответ: б) 90°.
Приведём другое решение.
а) По свойству медианы прямоугольного треугольника, CM = AM = BM. Значит, углы BAC и MCA равны. Следовательно,
Поэтому
б) Угол CMK равен 90°, значит, угол NMK равен 90°. Отрезок NK — диаметр окружности, следовательно, угол NBK равен 90°. Значит, прямая AC параллельна прямой BN.
Далее,
Следовательно, ANBC — прямоугольник, откуда 
Ответ: б) 90°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |