Ре­ше­ние. Пусть на доске было x еди­ниц, пре­вра­тив­ших­ся в нули. Осталь­ные числа (их ) имели сумму S. Пусть ровно y из них были умень­ше­ны на 1.

а)  Если были числа 40, 1, 1, 1, ..., 1, то их сред­нее было Если умень­шить на 1 все еди­ни­цы, то сред­нее ста­нет 40.

б)  По усло­вию сумма чисел была равна

а стала равна Зна­чит,

Упро­стим это урав­не­ние:

Если то

Если то

По­это­му таких чисел быть не могло.

в)  Сумма всех чисел, кроме ис­чез­нув­ших еди­ниц, была равна а новое сред­нее ариф­ме­ти­че­ское равно Если за­ме­нить y на 0, то сред­нее лишь вы­рас­тет. По­это­му в оп­ти­маль­ном при­ме­ре

Далее,

по­это­му чем боль­ше x, тем боль­ше будет и по­лу­чен­ное сред­нее. С дру­гой сто­ро­ны, по­сколь­ку все числа не пре­вос­хо­дят 40, долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие При­ве­дем такой при­мер. Возь­мем 6 еди­ниц (они пре­вра­тят­ся в нули и про­па­дут), 13 чисел по 40 и одно число 14, тогда все усло­вия будут вы­пол­не­ны и мы по­лу­чим сред­нее

Ответ: а) да; б) нет; в)