№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д12 C4 № 527557

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD про­ве­де­на диа­го­наль АС. Точка О яв­ля­ет­ся цен­тром окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник ABC. Рас­сто­я­ния от точки О до точки А и пря­мых AD и AC равны со­от­вет­ствен­но 10, 8 и 6.

а) До­ка­жи­те, что ABCD — пря­мо­уголь­ник.

б) Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD.

Ре­ше­ние.

а) Обо­зна­чим за M и N ос­но­ва­ния пер­пен­ди­ку­ля­ров, опу­щен­ных из O на AB и AD со­от­вет­ствен­но. Оче­вид­но по­то­му что это ра­ди­у­сы впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда

и пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки AOM и ANO равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту. Сле­до­ва­тель­но

по­это­му ABCD — пря­мо­уголь­ник.

б) В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти равен 6, по­это­му Пусть тогда (здесь за x обо­зна­че­на длина от­рез­ка от вер­ши­ны C до точек ка­са­ния со сто­ро­на­ми CB и CA). По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра имеем

Зна­чит, и

 

Ответ: б) 672.

· ·