Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 527540
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние \ctg дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2\ctg x плюс 3, зна­ме­на­тель: тан­генс левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби .

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка минус 2 Пи ; дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: тан­генс x конец дроби плюс 3, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: тан­генс x плюс тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 минус тан­генс x тан­генс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби конец дроби конец дроби .

Обо­зна­чим t= тан­генс x, тогда:

 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: t конец дроби плюс 3, зна­ме­на­тель: дробь: чис­ли­тель: t плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец дроби конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та t минус 1, зна­ме­на­тель: 1 минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2 плюс 3t, зна­ме­на­тель: t конец дроби рав­но­силь­но рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та t минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка t= левая круг­лая скоб­ка 1 минус дробь: чис­ли­тель: t, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3t пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка минус 3t минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка t= левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус t пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 2 плюс 3t пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но минус 3t в квад­ра­те минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та t=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 2t плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та t минус 3t в квад­ра­те рав­но­силь­но

 рав­но­силь­но минус 4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та t плюс 2t=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но t= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Пе­рейдём к ос­нов­ной пе­ре­мен­ной:

 тан­генс x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби рав­но­силь­но x= арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс Пи k,

 арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: минус 11 конец дроби = минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 6 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 11 конец дроби боль­ше минус арк­тан­генс 1= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Кроме того, нужно про­ве­рить, не под­хо­дят ли в наше урав­не­ние x, для ко­то­рых \ctg x=0 (и его нель­зя за­пи­сать как  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: t конец дроби ) или  тан­генс x не опре­де­лен (и нель­зя поль­зо­вать­ся фор­му­лой тан­ген­са суммы). И то и дру­гое бы­ва­ет, если x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, для таких x имеем  минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 2 умно­жить на 0 плюс 3, зна­ме­на­тель: минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , что верно.

Итак, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k, x= арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс Пи k.

б)  Из пер­во­го на­бо­ра, оче­вид­но, под­хо­дят x=\pm дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; x=\pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Обо­зна­чая  арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби =\varphi, имеем

\varphi минус 2 Пи мень­ше минус 2 Пи мень­ше минус Пи плюс \varphi мень­ше \varphi мень­ше \varphi плюс Пи мень­ше дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби =2 Пи минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше \varphi плюс 2 Пи .

По­это­му на ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежат: \pm дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,  арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби \pm Пи ,  арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи k; арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби плюс Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка б) \pm дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;  арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби \pm Пи ;  арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 1 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 267
Классификатор алгебры: Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны