PDF-версии: 
Пусть n — трёхзначное число, а 
— сумма квадратов его цифр.
а) Существует ли такое n, что 
б) Существует ли такое n, что 
в) Найдите наибольшее возможное значение отношения 
Решение. а) Пусть цифры числа равны a, b, c. Требуется, чтобы
Но
противоречие.
б) Да, например для 
в) Из пункта a уже известно, что 
— правильная дробь. Если увеличивать ее числитель и знаменатель на одну и ту же величину — она будет расти. Если числитель увеличивать больше, чем знаменатель — она тем более будет расти. Увеличивая c на 1 мы увеличиваем 
не менее чем на 1. Поэтому выгодно увеличивать c до тех пор, пока это возможно. Итак, 
Для числа 199 имеем:
Поэтому меньшие результаты рассматривать бессмысленно.
Если 
то
Значит, 
или 
Если 
то
Наконец, при имеем
Возьмем производную от этого выражения:
Очевидно числитель имеет корень между 
и 
(а второй его корень отрицателен), поэтому производная сначала отрицательна, а потом положительна. Значит, функция сначала убывает, а затем возрастает. Поэтому наибольшее значение либо при 
либо при 
Сравнивая 
и 
выясняем, что второе больше.
Ответ: а) нет; б) да; в) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |