РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д17 C6 № 527506 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 265

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Сложные задачи с параметром. Уравнения с параметром

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

$левая круглая скобка косинус x минус 1 правая круглая скобка в квадрате =a левая круглая скобка 3 косинус x плюс 4 синус в квадрате x минус 8 правая круглая скобка$

имеет на промежутке $левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ единственный корень.

Решение. Сделаем замену $t принадлежит левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка = косинус x.$ Уравнение примет вид:

$левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате =a левая круглая скобка 3t плюс 4 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка .$

Каждому его корню на $левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка$ соответствует единственное значение $x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ поэтому это уравнение должно иметь единственный корень на $левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка .$ Далее:

$t в квадрате минус 2t плюс 1=a левая круглая скобка минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 правая круглая скобка .$

Очевидно выражение в скобках отрицательно, на него можно поделить. Получаем

$a= дробь: числитель: t в квадрате минус 2t плюс 1, знаменатель: минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 конец дроби$

Исследуем функцию

$f левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: t в квадрате минус 2t плюс 1, знаменатель: минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 конец дроби$

на промежутке $левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка .$ Имеем:

$f' левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: левая круглая скобка 2t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 правая круглая скобка минус левая круглая скобка минус 8t плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$

$= дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка минус 8t в квадрате плюс 6t минус 8 плюс 8t в квадрате минус 3t минус 8t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби =$

$= дробь: числитель: минус 5 левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка минус 4t в квадрате плюс 3t минус 4 правая круглая скобка в квадрате конец дроби больше 0$ при $t принадлежит левая квадратная скобка 0;1 правая круглая скобка .$

Значит, $f левая круглая скобка t правая круглая скобка$ возрастает на этом промежутке, поэтому при всех $a принадлежит левая квадратная скобка f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка ;f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка правая круглая скобка$ уравнение будет иметь единственный корень, а при прочих a вообще не будет иметь корней. Далее:

$f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;f левая круглая скобка 1 правая круглая скобка =0.$

Ответ: $a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

527506

$a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 265

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527506	$a принадлежит левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ;0 правая круглая скобка .$