РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 527501 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 265

Классификатор алгебры: Модуль числа, модуль выражения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.3 Иррациональные уравнения;

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа

а)  Решите уравнение $3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка косинус x плюс 3 корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате x конец аргумента правая круглая скобка плюс 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 34=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Поскольку $корень из: начало аргумента: 1 минус синус в квадрате x конец аргумента =| косинус x|,$ получаем два варианта. При $косинус x больше или равно 0$ имеем

$3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 4 косинус x правая круглая скобка плюс 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 34=0.$

Обозначая $t=2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка ,$ имеем

$3t в квадрате плюс 11t минус 34=0 равносильно левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t плюс 17 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений t=2,t= минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка невозможно правая круглая скобка . конец совокупности .$ $3t в квадрате плюс 11t минус 34=0 равносильно левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка 3t плюс 17 правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений t=2,t= минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 3 конец дроби левая круглая скобка невозможно правая круглая скобка . конец совокупности .$

Следовательно,

$2 косинус x=1 равносильно косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k.$

При $косинус x меньше 0$ имеем

$3 умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус 2 косинус x правая круглая скобка плюс 11 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка минус 34=0.$

Обозначая $t=2 в степени левая круглая скобка 2 косинус x правая круглая скобка ,$ имеем

$дробь: числитель: 3, знаменатель: t конец дроби плюс 11t минус 34=0 равносильно 11t в квадрате минус 34t плюс 3=0 равносильно левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 11t минус 1 правая круглая скобка равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: 1, знаменатель: 11 конец дроби ,t=3. конец совокупности .$

Перейдём к основной переменной:

$совокупность выражений 2 косинус x= минус логарифм по основанию 2 11,2 косинус x= логарифм по основанию 2 3 конец совокупности . равносильно совокупность выражений косинус x= минус логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 11 конец аргумента меньше минус 1, косинус x= логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента больше 0 конец совокупности .$

поэтому для этого случая решений нет.

б)  С помощью тригонометрического круга отберем корни . На указанном промежутке лежат: $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$ Следует обратить внимание на то, что промежуток имеет длину больше $2 Пи$ и занимает поэтому больше целого оборота на круге.

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527501

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 3 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$