PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC точка E — середина ребра AC, точка P — середина ребра SВ.
а) Докажите, что прямая РЕ делит высоту SH пирамиды в отношении 
б) Найдите тангенс угла между прямой РЕ и плоскостью АSС, если известно, что 
Решение. а) Заметим, что H лежит на отрезке BE и делит его в отношении
Пусть Q — точка пересечения SH и PE (они лежат в плоскости BSE, поэтому пересекаются). По теореме Менелая для треугольника BSH и прямой PQE имеем: 
откуда 
б) Опустим перпендикуляр из P на SE. Проекция этого перпендикуляра на плоскость BC содержит середину BH (проекцию P) и какую-то точку на отрезке HE — проекции SE. Значит, проекцией перпендикуляра будет прямая BE перпендикулярна прямой AC. По теореме о трех перпендикулярах сам перпендикуляр тогда будет тоже перпендикулярен AC и, раз он перпендикулярен двум пересекающимся прямым в SAC, то он перпендикулярен и всей плоскости SAC. Поэтому проекция PE на плоскость грани SAC — прямая SE и нам нужно найти 
В треугольнике PES имеем:
Прямая PE — медиана треугольника SBE, поэтому
По теореме косинусов для треугольника PES получаем
откуда
Тогда
и 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов — а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |