РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник ABC, касается основания AC в точке D и боковой стороны AB в точке E. Точка F  — середина стороны AB, а точка G  — точка пересечения окружности и отрезка FD, отличная от D. Касательная к окружности, проходящая через точку G, пересекает сторону AB в точке H. Известно, что $FH:HE=2:3.$

а)  Докажите, что $\angle HGE =\angle EDG.$

б)  Найдите $\angle BCA.$

Решение. а)  Оба этих угла равны половине дуги GE  — первый как угол между касательной HG и хордой GE, второй  — как вписанный угол, опирающийся на дугу GE.

б)  Разберем два случая  — точка F лежит на AE или на BE.

В первом случае прямая FD параллельна прямой BC как средняя линия треугольника. Обозначим $\angle BAC=\angle BCA= альфа ,$ тогда $\angle FDA= альфа ,$ $\angle AFD=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 альфа .$ Обозначим за I центр вписанной окружности, тогда

$\angle IDF=\angle IDA минус \angle FDA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа .$

Поскольку треугольник IGD  — равнобедренный, $\angle IGD=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа ,$ тогда

$\angle HGD=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка = альфа$

(здесь использована прямая GH перпендикулярная прямой IG, поскольку GH  — касательная). Тогда смежный с ним угол $\angle FGH=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа$ и

$\angle FHG=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle HFG минус \angle FGH=$

$=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка минус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 альфа правая круглая скобка =3 альфа минус 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

По свойству касательных, проведенных из одной точки, $HE=HG.$ Пусть $HE=HG=3x,$ $FH=2x,$ тогда по теореме синусов для треугольника FGH получаем:

$дробь: числитель: FH, знаменатель: синус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: HG, знаменатель: синус левая круглая скобка 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 альфа правая круглая скобка конец дроби ;$

$дробь: числитель: 2x, знаменатель: синус альфа конец дроби = дробь: числитель: 3x, знаменатель: синус 2 альфа конец дроби равносильно 2 синус 2 альфа =3 синус альфа равносильно$

$равносильно 4 синус альфа косинус альфа =3 синус альфа равносильно косинус альфа = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

поэтому $альфа больше 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и угол $3 альфа минус 180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ существует. В этом случае $\angle BCA= альфа = арккосинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Во втором случае прямая FD параллельна прямой BC как средняя линия треугольника. Обозначим $\angle BAC=\angle BCA= альфа ,$ тогда $\angle FDA= альфа ,$ $\angle AFD=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 2 альфа .$ Обозначим за I центр вписанной окружности, тогда

$\angle IDF=\angle IDA минус \angle FDA=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа .$

$\angle FGH=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка 90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус альфа правая круглая скобка = альфа$

(здесь использовано прямая GH перпендикулярна прямой IG, поскольку GH  — касательная). Тогда угол

$\angle FHG=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle HFG минус альфа =\angle AFD минус альфа =180 минус 3 альфа .$

По свойству касательных, проведенных из одной точки, $HE=HG.$ Пусть $HE=HG=3x,$ $FH=2x,$ тогда по теореме синусов для треугольника FGH получаем $дробь: числитель: FH, знаменатель: синус альфа конец дроби = дробь: числитель: HG, знаменатель: 2 альфа конец дроби ,$ $дробь: числитель: 2x, знаменатель: синус альфа конец дроби = дробь: числитель: 3x, знаменатель: синус 2 альфа конец дроби .$ Это то же самое уравнение, что и в случае 1, поэтому $косинус альфа = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби меньше дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ,$ поэтому $альфа больше 60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка$ и угол $180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 3 альфа$ не существует. Поэтому такой случай невозможен.

Ответ: $арккосинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527453	$арккосинус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$

Ключ