PDF-версии: 
В пирамиде SBCD каждое ребро равно 3. На ребре SB взята точка A так, что 
а) В каком отношении плоскость ACD делит объем пирамиды?
б) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SACD.
Решение. а) У пирамид SBDC и ABDC совпадают основания, а отношение их высот равно
из-за подобия треугольников AHB и SOB (AH и SO — высоты пирамид). Значит, 
и искомое отношение объемов 
б) Пусть М - точка пересечения медиан правильного треугольника SDC, точка K - центр сферы. Точка К равноудалена от точек S, D и C, поэтому она лежит на перпендикуляре к плоскости SDC, проведенном через точку М - этот перпендикуляр является высотой правильного тетраэдра BSDC.
Пусть А1 и A2 - проекции точки А на прямые ВМ и SM.
Треугольники BAA1 и BSM подобны c коэффициентом подобия 
поэтому 
Пусть МК=h, тогда
Приравняв выражения для 
получим 
Знак "минус" означает, что точка К на самом деле лежит на продолжении отрезка МВ, то есть вне тетраэдра SACD.
Тогда 
Примечание.
Заметим, что радиус сферы, описанной вокруг тетраэдра SBCD, тоже равен 
В самом деле, центр описанной сферы делит высоту тетраэра в отношении 3:1, считая от вершины, поэтому расстояние от точки М до центра сферы равно 
а радиус равен KS. Однако центр сферы, описанной вокруг тетраэдра SBCD, лежит на отрезке МВ, то есть внутри тетраэдра, а центр сферы, описанной вокруг тетраэдра SADC, лежит на продолжении отрезка МВ, то есть вне тетраэдра.
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б) | 2 |
| Выполнен только один из пунктов — а) или б) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б)