РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Из натурального числа вычли сумму его цифр, из полученного числа снова вычли сумму его (полученного числа) цифр и т. д.

а)  Может ли в результате получиться 1?

б)  Каким может быть предпоследнее полученное число, если в результате получился ноль?

в)  Найдите все возможные исходные числа, если после одиннадцати таких вычитаний получился ноль.

Решение. а)  Нет. Как известно, число и его сумма цифр дают одинаковые остатки от деления на 9, поэтому все числа, получаемые после первого вычитания, будут кратны 9.

б)  Ясно что все однозначные числа подходят. Числа начиная с двузначных не могут быть равны своей сумме цифр, поскольку при записи их в виде суммы разрядных слагаемых каждое слагаемое будет не меньше соответствующей цифры, а первое  — даже строго больше:

$\ldots плюс 100a плюс 10b плюс c больше \ldots a плюс b плюс c.$

в)  Если в числе n цифр, то его сумма цифр (и всех получаемыхиз него чисел) не больше $9n,$ а само оно не меньше $10 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка ,$ поэтому результат будет не меньше

$10 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 11 умножить на 9n больше 10 в степени левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 100n=100 левая круглая скобка 10 в степени левая круглая скобка n минус 3 правая круглая скобка минус n правая круглая скобка .$

Ясно, что это положительно при $n больше или равно 4,$ поэтому число не может быть четырехзначным или иметь еще больше цифр. Если число не более чем трехзначное, то вычитается каждый раз не более чем 27, поэтому все такие числа не превосходят $27 умножить на 11=297.$ После первого же вычитания число будет кратно 9. Составим полную таблицу таких чисел и результатов действий с ними:

$297,288\mapsto 279,270\mapsto 261\mapsto 252\mapsto 243\mapsto 234\mapsto 225\mapsto216\mapsto 207\mapsto 198$

$198,189\mapsto 180,171\mapsto 162\mapsto 153\mapsto 144\mapsto 135\mapsto 126\mapsto 117\mapsto108\mapsto 99$

(180 превращается в 171 и далее следует по этой цепочке).

$99,90\mapsto 81\mapsto 72\mapsto 63\mapsto 54\mapsto 45\mapsto 36\mapsto 27\mapsto 18\mapsto 9\mapsto 0.$

Итак, на последнем шаге должно получиться 90 или 99  — лишь из них 0 получается ровно за 10 шагов. Если взять двузначное число, то 99 из него точно не выйдет, и 90 тоже  — оно должно быть больше 90, его первая цифра 9, Значит, сумма цифр не меньше 10, Значит, оно не меньше $90 плюс 10=100.$ Итак, это трехзначное число, не превосходящее $99 плюс 27=126$ (больше 27 не вычесть). Обозначим его цифры за 1, a, b. Получим:

$100 плюс 10a плюс b минус левая круглая скобка 1 плюс a плюс b правая круглая скобка =99$ или $100 плюс 10a плюс b минус левая круглая скобка 1 плюс a плюс b правая круглая скобка =90$

$9a=0$ или $9 плюс 9a=0$

Следовательно, $a=0.$ Значит, подходят все числа от 100 до 109. (Здесь мы считали, что число должно обнулиться ровно за 11 операций).

Ответ: а) нет; б) 1, 2, ..., 9; в) 100, 101, ..., 109.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527430	а) нет; б) 1, 2, ..., 9; в) 100, 101, ..., 109.

Ключ