PDF-версии: 
Даны треугольник ABC и ромб BDEF, все вершины которого лежат на сторонах треугольника ABC, а угол при вершине E — тупой, 
а радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1.
а) Найдите площадь треугольника ABC.
б) Найдите расстояние между центром окружности, вписанной в ромб, до центра окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение. Поскольку
угол ABC — тупой. Значит, остальные углы треугольника острые. Высота ромба равна удвоенному радиусу окружности, поэтому 
Тогда из прямоугольных треугольников EHC и EGA получаем 
Поэтому:
По теореме синусов для треугольника ABC получаем 
откуда 
и
б) Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла B. Кроме того, центр вписанной окружности ромба лежит на BE, Значит, это и есть биссектриса. Очевидно этот центр — середина BE. Проведем теперь биссектрису угла C (она пройдет через центр вписанной окружности треугольника). Она поделит BE в отношении
Поэтому расстояние от центра вписанной окружности треугольника до B равно 
и расстояние между центрами равно:
Вычислим теперь BE из треугольника BCE по теореме косинусов:
Окончательно:
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
б) б)