Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C3 № 527417

Решите неравенство:  логарифм по основанию x левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка корень из 2x плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать решение

Решение.

Сразу отметим, что x больше 0, x не равно 1, 2x плюс 3 больше 0, 2x плюс 3 не равно 1 и x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби больше 0. Из первых двух условий следуют все остальные, поэтому ОДЗ неравенства:  левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка . Преобразуем его теперь и рационализируем:

 дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 корень из 2x плюс 3 конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 2 логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 2 логарифм по основанию 2 корень из 2x плюс 3 конец дроби равносильно

 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно

 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 2 x в квадрате логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно

 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x в квадрате логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно

 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно

 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно

 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.

Удалим все множители, принимающие только положительные значения на ОДЗ:

 дробь: числитель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .

Ответ: x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен верный ответ.2
Обоснованно получен ответ, неверный из-за недочета в решении или вычислительной ошибки1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 258.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов