РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527417 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 258

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $логарифм по основанию x левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка меньше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2x плюс 3 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка .$

Решение. Сразу отметим, что $x больше 0,$ $x не равно 1,$ $2x плюс 3 больше 0,$ $2x плюс 3 не равно 1$ и $x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби больше 0.$ Из первых двух условий следуют все остальные, поэтому ОДЗ неравенства: $левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$ Преобразуем его теперь и рационализируем:

$дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 2x плюс 3 конец аргумента конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 2 логарифм по основанию 2 x конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: 2 логарифм по основанию 2 корень из: начало аргумента: 2x плюс 3 конец аргумента конец дроби равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x в квадрате конец дроби меньше или равно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x в квадрате конец дроби минус дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка логарифм по основанию 2 x в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию 2 x в квадрате логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 x в квадрате логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x в квадрате минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2x плюс 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 минус x в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x в квадрате минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 3 минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 2 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Удалим все множители, принимающие только положительные значения на ОДЗ:

$дробь: числитель: левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Обоснованно получен ответ, неверный из-за недочета в решении или вычислительной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527417

$x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 258

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Рационализация неравенств

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527417	$x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$