РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Бесконечная арифметическая прогрессия $a_1,a_2,...,a_n,...$ состоит из различных натуральных чисел.

а)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1,a_2,...,a_7$ ровно три числа делятся на 24?

б)  Существует ли такая прогрессия, в которой среди чисел $a_1,a_2,...,a_30$ ровно 9 чисел делятся на 24?

в)  Для какого наибольшего натурального числа n могло оказаться так, что среди чисел $a_1,a_2,...,a_3n$ больше кратных 24, чем среди чисел $a_3n плюс 1,a_3n плюс 2,...,a_7n,$ если известно, что разность прогрессии равна 1?

Решение. а)  Прогрессия 24, 32, 40, ..., 72 удовлетворяет условию задачи.

б)  Пусть разность прогрессии равна d. Тогда два члена прогрессии с номерами, отличающимися на n, могут быть одновременно кратны 24 только если nd кратно 24. Если выбрать минимальное такое n, то числа, кратные 24, будут попадаться в последовательности через каждые n членов или не будут попадаться вовсе. Значит, они могут попадаться через 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1 член. В первых пяти случаях 30 чисел накрываются не более чем восемью группами по 4 или более числа, в каждой из которых одно число кратно 24. В остальных трех в 30 числах можно выбрать 10 групп по 3 числа, в каждой из которых не менее одного подходящего числа. Поэтому ровно 9 сделать нельзя.

в)  Если $n больше или равно 24,$ и $a_1$ дает остаток x при делении на 24, то выбрав первое же число с остатком x при делении на 24 после $a_3n$ (оно будет не больше $a_3n плюс 24 меньше или равно a_4n$ ) и отсчитав $3n$ чисел, начиная с него (они все будут от $a_3n плюс 1$ до $a_7n$ ) мы получим числа с теми же остатками от деления на 24, что и первые $3n$ членов прогрессии. Поэтому уже среди них столько же кратных 24.

Если $n принадлежит левая квадратная скобка 18;23 правая квадратная скобка ,$ то среди $3n$ чисел подряд не более трех кратных 24 (если бы их было 4 и больше, то крайние из них отличались бы минимум на 72, а это невозможно, поскольку даже крайние из всех отличаются на $3n минус 1 меньше или равно 68$ ), а среди $4n$ чисел подряд есть минимум $4 умножить на 18=72,$ из которых есть три кратных 24.

Если же взять $n=17$ и $a_1=22,$ то среди первых 51 члена будут 24, 48, 72, а среди следующих 68  — только 96 и 120.

Ответ: а) да; б) нет; в) 17.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: — обоснованное решение пункта а; — обоснованное решение пункта б; — оценка в пункте в; — пример в пункте в, обеспечивающий точность найденной оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527406	а) да; б) нет; в) 17.

Ключ