PDF-версии: 
В прямоугольном треугольнике ABC из точки E, расположенной в середине катета BC, опущен перпендикуляр EL на гипотенузу AB, 
а) Найдите углы треугольника ABC.
б) Найдите отношение 
Решение. Если взять треугольник, подобный данному, то в нем все углы и отношения отрезков будут такими же. Будем сразу считать, что
По теореме Пифагора для треугольника ALE имеем 
а) Обозначим 
По теореме Пифагора для треугольника BLE получим 
Значит, и 
Тогда по теореме Пифагора для треугольника ACE получим:
Наконец, по теореме Пифагора для треугольника ABC получим:
Первый вариант невозможен, поскольку тогда 
Значит, 
б) По теореме косинусов для треугольника CBL получаем:
откуда 
и 
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
б) б)