РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д10 C2 № 527401 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 257

Классификатор стереометрии: Правильная четырёхугольная пирамида, Расстояние между скрещивающимися прямыми, Угол между прямыми

Сложная стереометрия. Многогранники

Диагональ основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна 8, высота пирамиды SO равна 1. Точка M  — середина ребра SC, точка K  — середина ребра CD.

а)  Найдите угол между прямыми BM и SK.

б)  Найдите расстояние между прямыми BM и SK.

Решение. Имеем: $AC= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента AB=8,$ поэтому $AB=4 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$ Далее, $AS= корень из: начало аргумента: SO в квадрате плюс OA в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 17 конец аргумента .$

а)  Пусть $K_1$   — середина KC, тогда $K_1M$   — средняя линия треугольника CSK и прямая $MK_1$ параллельна прямой SK. Далее:

$\angle левая круглая скобка BM,SK правая круглая скобка =\angle левая круглая скобка BM,MK_1 правая круглая скобка =\angle BMK_1.$

Прямая BM  — медиана треугольника CSB. По формуле для медианы получим:

$BM= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 2SB в квадрате плюс 2CB в квадрате минус SC в квадрате конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 17 плюс 64 конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 81 конец аргумента = дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби .$

Из прямоугольного треугольника $BCK_1$ имеем:

$BK_1= корень из: начало аргумента: BC в квадрате плюс CK_1 в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 32 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби DC правая круглая скобка в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: 34 конец аргумента .$

Наконец, SK  — высота равнобедренного треугольника SDC, поэтому:

$MK_1= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SK= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: SC в квадрате минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби DC в квадрате конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из: начало аргумента: 17 минус 8 конец аргумента = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .$

Теперь запишем теорему косинусов для треугольника $BMK_1:$

$34= дробь: числитель: 81, знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби минус 2 умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби косинус \angle BMK_1,$

откуда $косинус \angle BMK_1= минус дробь: числитель: 23, знаменатель: 27 конец дроби .$ Поскольку угол между прямыми не может быть тупым, мы нашли угол между неподходящими их лучами. Настоящий ответ: $арккосинус дробь: числитель: 23, знаменатель: 27 конец дроби .$

б)  Имеем:

$d левая круглая скобка BM,SK правая круглая скобка =d левая круглая скобка SK,BMK_1 правая круглая скобка =d левая круглая скобка K,BMK_1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 3V_KK_1MB, знаменатель: S_BMK_1 конец дроби =$

$= дробь: числитель: d левая круглая скобка M,BKK_1 правая круглая скобка умножить на S_BKK_1, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BM умножить на MK_1 умножить на синус \angle BMK_1 конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби d левая круглая скобка S,ABCD правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби KK_1 умножить на BC, знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BM умножить на MK_1 умножить на корень из: начало аргумента: 1 минус косинус в квадрате \angle BMK_1 конец аргумента конец дроби =$

$= дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SO умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби CD умножить на BC, знаменатель: BM умножить на MK_1 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 200 конец аргумента , знаменатель: 27 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 4, знаменатель: дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 10 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 27 конец дроби конец дроби = дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

Ответ: а) $арккосинус дробь: числитель: 23, знаменатель: 27 конец дроби ;$ б) $дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в пунктах а) и б)	2
Выполнен только один из пунктов   — а) или б)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	2

527401

а) $арккосинус дробь: числитель: 23, знаменатель: 27 конец дроби ;$ б) $дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 257

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527401	а) $арккосинус дробь: числитель: 23, знаменатель: 27 конец дроби ;$ б) $дробь: числитель: 8, знаменатель: 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби .$