РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 527396 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 256

Классификатор планиметрии: Многоугольники, Окружности и треугольники

Сложная планиметрия. Многоугольники

Точки K и L являются серединами боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC. Точка M расположена на медиане AL так, что $AM:ML=13:12.$ Окружность ω с центром в точке M касается прямой AC и пересекает прямую KL в точках P и Q, $KL=10,$ $PQ=4.$

а)  Найти радиус окружности ω.

б)  Найти периметр треугольника ABC.

Решение. а)  Опустим перпендикуляры MT и LH на AC, MS на KL. Треугольники AMT и ALH подобны с коэффициентом

$AM:AL=13:25.$

Обозначим $MT=13x,$ $LH=25x,$ тогда

$MS=TS минус TM=LH минус TM=12x.$

Отметим, что MT  — радиус окружности. Из прямоугольного треугольника MSP имеем

$SP= корень из: начало аргумента: MP в квадрате минус SM в квадрате конец аргумента = корень из: начало аргумента: левая круглая скобка 13x правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 12x правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =5x,$

поэтому $QP=QS плюс SP=2SP=10x$ Значит, $10x=4.$ Тогда $x=0,4$ и радиус окружности равен $5,2.$

б)  Имеем:

$AC=KL=20,$

$d левая круглая скобка B,AC правая круглая скобка =2d левая круглая скобка L,AC правая круглая скобка =50x=20,$

откуда

$AB=AC= корень из: начало аргумента: 20 в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби AC в квадрате конец аргумента =10 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$

откуда периметр $2 умножить на 10 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента плюс 20=20 плюс 20 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Ответ: а) $5,2;$ б) $20 плюс 20 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б	3
Получен обоснованный ответ в пункте б ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: а) $5,2;$ б) $20 плюс 20 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

527396

а) $5,2;$ б) $20 плюс 20 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 256

Классификатор планиметрии: Многоугольники, Окружности и треугольники

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527396	а) $5,2;$ б) $20 плюс 20 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$