РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 527393 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 256

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $4 синус в квадрате левая круглая скобка 2x плюс Пи правая круглая скобка минус 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка косинус левая круглая скобка 2x минус Пи правая круглая скобка плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 4=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. Обозначим $t= косинус 2x,$ тогда $минус t= косинус левая круглая скобка 2x минус Пи правая круглая скобка ,$ $t в квадрате = синус в квадрате левая круглая скобка 2x плюс Пи правая круглая скобка .$ Уравнение примет вид:

$4 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка t плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 4=0 равносильно минус 4t в квадрате плюс 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка t плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента =0 равносильно$ $4 левая круглая скобка 1 минус t в квадрате правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка t плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 4=0 равносильно$
$равносильно минус 4t в квадрате плюс 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка t плюс корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента =0 равносильно$

$равносильно 4t в квадрате минус 2 левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента минус корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка t минус корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента =0 равносильно левая круглая скобка 2t минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 2t плюс корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка =0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений t= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби больше 1 левая круглая скобка невозможно правая круглая скобка ,t= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , конец совокупности .$

откуда

$косинус 2x= минус дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x=\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x=\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k.$

б)   Поскольку

$минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби = минус дробь: числитель: 18 Пи , знаменатель: 12 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 12 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби меньше минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби меньше дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби меньше дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$

подходят: $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527393

а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 256

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527393	а) $левая фигурная скобка \pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби плюс Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 17 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 12 конец дроби ,$ $\pm дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 12 конец дроби .$