РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д19 C7 № 527362 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 254

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Сложные задания на числа и их свойства. Последовательности и прогрессии

Конечная последовательность $a_1,a_2,...,a_n$ состоит из $n\geqslant3$ не обязательно различных натуральных чисел, причем при всех натуральных $k меньше или равно n минус 2$ выполнено равенство $a_k плюс 2=2a_k плюс 1 минус a_k плюс 1.$

а)  Приведите пример такой последовательности при $n=5,$ в которой $a_5=3.$

б)  Может ли в такой последовательности оказаться так, что $a_3=a_11?$

в)  При каком наибольшем n такая последовательность может состоять только из чисел, не превосходящих 50?

Решение. Перепишем условие в виде

$a_k минус 2 минус a_k минус 1=a_k минус 1 минус a_k плюс 1.$

Поэтому разность между двумя соседними членами последовательности увеличивается на 1.

а)  Например, последовательность 5, 3, 2, 2, 3 подходит.

б)  Пусть первые два члена последовательности равны a и $a плюс x.$ Тогда их разность равна x. Поэтому

$a_3=a плюс 2x плюс 1;$

$a_11=a плюс x плюс левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка плюс \ldots плюс левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка =a плюс 10x плюс 45.$

Осталось выяснить, возможно ли такое равенство:

$a плюс 2x плюс 1=a плюс 10x плюс 45 равносильно 8x плюс 44=0.$

Это уравнение не имеет целых решений.

в)  Последовательность, начинающаяся с 50 и 41 содержит 20 членов. Если последовательность содержит 21 или более членов, то выберем в ней минимальный. С одной стороны от него будет минимум 11 членов или с обеих сторон будет по 10, но тогда он не будет равен им обоим сразу. В любом случае, мы сможем выбрать строго монотонную последовательность из 11 чисел, разности в которой отличаются минимум на 1. Значит, крайние числа будут отличаться минимум на

$1 плюс 2 плюс 3 плюс \ldots плюс 10=55,$

что невозможно для чисел, меньших 51.

Ответ: а) 5, 3, 2, 2, 3; б) нет; в) 20.

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Ответ: а) 5, 3, 2, 2, 3; б) нет; в) 20.

527362

а) 5, 3, 2, 2, 3; б) нет; в) 20.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 254

Классификатор алгебры: Последовательности и прогрессии

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527362	а) 5, 3, 2, 2, 3; б) нет; в) 20.