PDF-версии: 
Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
имеет ровно три решения.
Решение. Поскольку 
то и 
поэтому 
Значит, первое уравнение примет вид:
Заметим далее, что если числа x и y подходят в систему, то и числа x и 
тоже подходят. Поэтому все решения разбиваются на пары, кроме тех, в которых 
— они пары к самим себе. Значит, количество решений четно, если только среди решений нет такой пары. Поэтому в нашем случае она есть. Если 
то первое уравнение принимает вид
Тогда 
или 
откуда 
Осталось проверить, верно ли, что в каждом из этих случаев кроме решения с есть еще ровно одна пара решений, то есть ровно одно решение, в котором y положительно (или еще два решения с но это невозможно — все решения с возникают при разных a). Разберем случаи.
1. Имеем 
Тогда:
и 
Если 
получаем уравнение:
откуда или 
(невозможно).
Если 
получаем уравнение:
поэтому 
Второе возможное y отрицательно и мы получаем ровно три корня.
2. Имеем 
Тогда:
и 
Если получаем уравнение:
откуда или 
Это уже три решения.
Если получаем уравнение:
поэтому 
(это решение уже учтено) или 
3. Имеем 
Тогда:
и 
Если получаем уравнение:
откуда 
или
Если получаем уравнение:
поэтому (это решение уже учтено) или 
Итого ровно три корня.
4. Имеем Тогда:
и 
Если получаем уравнение:
— нет корней.
Если получаем уравнение:
поэтому 
и это единственное решение.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |