PDF-версии: 
Четырехугольник, один из углов которого равен 
вписан в окружность радиуса 
и описан около окружности радиуса 3.
а) Найдите площадь четырехугольника.
б) Найдите угол между диагоналями четырехугольника.
Решение. Пусть это четырехугольник ABCD, причем
Тогда 
Поскольку четырехугольник вписанный, 
Значит, 
Пусть, далее, 
тогда, из-за описанности,
возможно 
если на самом деле 
По теореме синусов для треугольника ADB получим: 
откуда 
Найдем двумя способами площадь четырехугольника ABCD. Во-первых, она равна
Во-вторых,
Следовательно,
Кроме того, запишем теоремы косинусов для треугольников DAB и DCB. В итоге получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:
Вычитая из последнего уравнения второе, находим:
Преобразуем, учитывая первое уравнение:
Ясно что 
поскольку это полупериметр. Значит, 
Теперь сделаем замену 
и запишем первые два уравнения.
Отсюда
Итак, 
Тогда a, b — корни квадратного уравнения 
то есть они равны 
а) Имеем:
б) По теореме Птолемея:
Отсюда
C другой стороны,
откуда
Ответ: а) 
б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
б) б)