PDF-версии: 
Дано натуральное четырехзначное число n, в записи которого нет нулей. Для этого числа составим дробь f(n), в числителе которой само число n, а в знаменателе — произведение всех цифр числа n.
а) Приведите пример такого числа n, для которого 
б) Существует ли такое n, что 
в) Какое наименьшее значение может принимать дробь f(n), если она равна несократимой дроби со знаменателем 160?
Решение. а) Например, 
б) Ясно, что n делится на 343, а его произведение цифр кратно 160, то есть среди его цифр есть пятерка, а произведение остальных делится на 32. Выпишем все четырехзначные числа, кратные 343, от 
до 
1029, 1372, 1715, 2058, 2401, 2744, 3087, 3430, 3773, 4116, 4459, 4802, 5145, 5488, 5831, 6174, 6517, 6860, 7203, 7546, 7889, 8232, 8575, 8918, 9261, 9604, 9947. Оставляем числа с пятеркой и без нуля: 1715, 4459, 5145, 5488, 5831, 6517, 7546, 8575. Из них только 
делится на 32. Но 
в) Добавим к пятерке три цифры, произведение которых кратно 32. Получим такие наборы:
− 5, 8, 8, x, число n должно сократиться на 
− 5, 8, 4, x, число n должно сократиться на x;
− 5, 8, 2, 2; 5, 8, 6, 2; 5, 8, 6, 6; число n должно сократиться на 1, 3 или 9 соответственно;
− 5, 4, 4, 4, число n должно сократиться на 2;
− 5, 4, 4, 2; 5, 4, 4, 6, число n должно сократиться на 1 или 3 соответственно.
Разберем эти случаи. Сразу отметим, что 
поэтому все ответы, большие этого, можно отбрасывать сразу. Поэтому все варианты с сокращением на 1, 2, 3, перечисленные в конце, сразу не подходят — они оставят числитель, больший 489. Сокращение на 9 числа из цифр 5, 8, 6, 6 невозможно по признаку делимости на 9. Далее:
− 5, 8, 8, 1 с сокращением на 2 даст не меньше 
− 5, 8, 8, 2 с сокращением на 4 даст не меньше 
− 5, 8, 8, 3 с сокращением на 6 даст не меньше 
− 5, 8, 8, 4 с сокращением на 8 даст не меньше 
− 5, 8, 8, 5 с сокращением на 10 даст не меньше 
− 5, 8, 8, 6 с сокращением на 12: 5688 кратно 24, прочие дадут не меньше 
− 5, 8, 8, 7 с сокращением на 14: 5788, 5878, 5887 не кратны 14, прочие дадут не меньше 
− 5, 8, 8, 8 с сокращением на 16: только 5888 кратно 16, но оно кратно и 32;
− 5, 8, 8, 9 с сокращением на 18 невозможно по признаку делимости на 9;
− 5, 8, 4, x с сокращением на x при первой цифре x даст не менее 1000, а при первой цифре 4 даст не менее 
при 
Если же 
то число из цифр 5, 8, 4, 9 не делится на 9.
Ответ: а) 3858; б) нет; в) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |