РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д12 C3 № 527318 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 252

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Сложные неравенства. Неравенства различных типов

Решите неравенство: $2 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: x в квадрате минус 2x минус 3 конец аргумента правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка в квадрате .$

Решение. Для того, чтобы неравенство было определено, должны выполняться условия $x в квадрате минус 2x минус 3 больше 0,$ $x в квадрате минус 2x минус 3 не равно 1,$ $x в квадрате минус 2x минус 2 не равно 0,$ $дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше 0.$ Первое условие дает $левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка больше 0,$ то есть $x больше 3$ или $x меньше минус 1.$ Второе условие дает $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате не равно 5,$ $x не равно 1\pm корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$ Третье выполнено автоматически, поскольку

$x в квадрате минус 2x минус 2=x в квадрате минус 2x минус 3 плюс 1 больше 0 плюс 1=1.$

Последнее, наконец, дает $x больше минус 1$ или $x меньше минус 4.$ Поэтому все вместе они задают такую область определения неравенства  — $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 4 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3;1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ; бесконечность правая круглая скобка .$ При таких x преобразуем неравенство:

$2 плюс 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше или равно 2 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка |x в квадрате минус 2x минус 2| равносильно$

$равносильно 1 плюс логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x плюс 1 конец дроби левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 12 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате плюс x минус 12 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 1 конец дроби больше или равно 0.$

Рационализируем:

$дробь: числитель: x в квадрате плюс x минус 12 минус левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате минус 2x минус 3 минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3x минус 10, знаменатель: x в квадрате минус 2x минус 4 конец дроби больше или равно 0 равносильно x принадлежит левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; бесконечность правая круглая скобка .$ $дробь: числитель: x в квадрате плюс x минус 12 минус левая круглая скобка x в квадрате минус 2x минус 2 правая круглая скобка , знаменатель: x в квадрате минус 2x минус 3 минус 1 конец дроби больше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 3x минус 10, знаменатель: x в квадрате минус 2x минус 4 конец дроби больше или равно 0 равносильно$
$равносильно x принадлежит левая круглая скобка 1 минус корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ;1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; бесконечность правая круглая скобка .$

Учитывая ОДЗ, получаем окончательно $x принадлежит левая круглая скобка 3;1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ $x принадлежит левая круглая скобка 3;1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; бесконечность правая круглая скобка .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

527318

$x принадлежит левая круглая скобка 3;1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; бесконечность правая круглая скобка .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 252

Классификатор алгебры: Иррациональные неравенства, Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527318	$x принадлежит левая круглая скобка 3;1 плюс корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента правая круглая скобка \cup левая квадратная скобка целая часть: 3, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 3 ; бесконечность правая круглая скобка .$