РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д8 C1 № 527316 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 252

Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.3 Иррациональные уравнения;

2.1.4 Тригонометрические уравнения.

Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения

а)  Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2 косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x=0.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус 7 Пи ; минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Перепишем уравнение в виде $корень из: начало аргумента: 2 косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец аргумента = минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента синус x.$ Отметим сразу, что $синус x меньше или равно 0.$ Возводя в квадрат, получим:

$2 косинус в квадрате x минус корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента =2 синус в квадрате x равносильно 2 левая круглая скобка косинус в квадрате x минус синус в квадрате x правая круглая скобка = корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента равносильно$

$равносильно косинус 2x= дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс Пи k.$

Получаем четыре точки на тригонометрическом круге: $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k,$ $дробь: числитель: минус 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k.$ Условию $синус x меньше или равно 0$ удовлетворяют второе и третье семейство решений.

б)  Заметим, что

$дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 10 Пи меньше минус 7 Пи меньше дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 8 Пи меньше минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 6 Пи$

$минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 8 Пи меньше минус 7 Пи меньше минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 6 Пи меньше минус дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 2 конец дроби меньше минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 4 Пи ,$

поэтому на указанном промежутке лежат $x= дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 8 Пи = минус дробь: числитель: 55, знаменатель: 8 конец дроби Пи$ и $x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби минус 6 Пи = минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 8 конец дроби Пи .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 55, знаменатель: 8 конец дроби Пи ,$ $минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 8 конец дроби Пи .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

527316

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: числитель: минус Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 55, знаменатель: 8 конец дроби Пи ,$ $минус дробь: числитель: 49, знаменатель: 8 конец дроби Пи .$