РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д15 C4 № 527312 Добавить в вариант

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 251

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружность, вписанная в треугольник

Сложная планиметрия. Окружности

Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой окружности ω радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре окружности ω, который параллелен гипотенузе. Угол CAB равен 75°.

а)  Найдите площадь треугольника ABC.

б)  Найдите расстояние между центрами окружности ω и окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение. Обозначим концы диаметра за D и E, основание высоты треугольника ABC, проведенной из C, за H, основание перпендикуляра из O к AB за T, центр вписанной окружности ABC за I. Пусть, далее, $x=HC.$ Тогда

$HB=x\ctg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$      $HA=x тангенс 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка ,$      $TA= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x левая круглая скобка \ctg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс tg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка ,$      $OT=HC=x.$

По теореме Пифагора для треугольника OTA получаем тогда:

$100=x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в квадрате левая круглая скобка \ctg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс тангенс 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате равносильно 100=x в квадрате левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: тангенс в квадрате 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 2 тангенс 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка равносильно$ $100=x в квадрате плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в квадрате левая круглая скобка \ctg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс тангенс 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате равносильно$
$равносильно 100=x в квадрате левая круглая скобка 1 плюс левая круглая скобка дробь: числитель: тангенс в квадрате 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 2 тангенс 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 100=x в квадрате левая круглая скобка 1 плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: синус в квадрате 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка равносильно 100=5x в квадрате равносильно x=2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента .$

а)  Имеем:

$S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CH умножить на AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате левая круглая скобка \ctg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс tg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =x в квадрате умножить на дробь: числитель: тангенс в квадрате 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 2 тангенс 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 20, знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =40.$ $S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CH умножить на AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате левая круглая скобка \ctg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс tg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$
$=x в квадрате умножить на дробь: числитель: тангенс в квадрате 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 1, знаменатель: 2 тангенс 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 20, знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =40.$

б)  Поскольку CI  — биссектриса угла ACB, $\angle ICO=\angle ICB плюс \angle BCO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \angle ACB плюс \angle CBT=45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =60 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .$

Далее, ##

$r_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка AC плюс BC минус AB правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби минус x тангенс 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус x\ctg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$ $r_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка AC плюс BC минус AB правая круглая скобка =$
$= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка дробь: числитель: x, знаменатель: косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: x, знаменатель: синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби минус x тангенс 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус x\ctg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$

$= дробь: числитель: x, знаменатель: 2 синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс косинус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус синус в квадрате 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус косинус в квадрате 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$

$= дробь: числитель: x, знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс синус 75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = 2x левая круглая скобка 2 синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента минус 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ $= дробь: числитель: x, знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс синус 75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = 2x левая круглая скобка 2 синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$=4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента минус 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$ $= дробь: числитель: x, знаменатель: синус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка синус 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка плюс синус 75 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$= 2x левая круглая скобка 2 синус 45 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка косинус 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =$
$=4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента левая круглая скобка дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби минус 1 правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 30 конец аргумента минус 4 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента ,$

$CI= корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента r_ABC=4 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента минус 4 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента$

по свойствам окружности, вписанной в прямоугольный треугольник.

Наконец,

$CO=HT=AT минус AH= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x левая круглая скобка \ctg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус tg 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка правая круглая скобка =$

$=2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента умножить на дробь: числитель: 1 минус тангенс в квадрате 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , знаменатель: 2 тангенс 15 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка конец дроби =2 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента \ctg 30 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка =2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента .$

По теореме косинусов для треугольника ICO получим:

$IO= корень из: начало аргумента: CO в квадрате плюс CI в квадрате минус CO умножить на CI конец аргумента = корень из: начало аргумента: 16 левая круглая скобка 15 плюс 10 минус 2 корень из: начало аргумента: 150 конец аргумента правая круглая скобка плюс 60 минус левая круглая скобка 120 минус 8 корень из: начало аргумента: 150 конец аргумента правая круглая скобка конец аргумента =$ $IO= корень из: начало аргумента: CO в квадрате плюс CI в квадрате минус CO умножить на CI конец аргумента =$
$= корень из: начало аргумента: 16 левая круглая скобка 15 плюс 10 минус 2 корень из: начало аргумента: 150 конец аргумента правая круглая скобка плюс 60 минус левая круглая скобка 120 минус 8 корень из: начало аргумента: 150 конец аргумента правая круглая скобка конец аргумента =$

$= корень из: начало аргумента: 340 минус 24 корень из: начало аргумента: 150 конец аргумента конец аргумента = корень из: начало аргумента: 340 минус 120 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента конец аргумента .$

Ответ: а) 40; б) $корень из: начало аргумента: 340 минус 120 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

527312

а) 40; б) $корень из: начало аргумента: 340 минус 120 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента конец аргумента .$

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 251

Методы геометрии: Теорема косинусов

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружность, вписанная в треугольник

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	527312	а) 40; б) $корень из: начало аргумента: 340 минус 120 корень из: начало аргумента: 6 конец аргумента конец аргумента .$